Imprimir tu propio papel para graficar

Imagina esta situación: Pasada la media noche, veinte o cuarenta ejercicios  (¿quién lleva la cuenta?) de cálculo de áreas en coordenadas polares; vas por el próximo y de pronto te das cuenta que... ya no tienes papel para graficar. En este caso tienes tres opciones: irte a la cama (que sería lo más sensato a estas alturas), tratar de graficar sobre alguna de las otras gráficas que tienes regadas por el piso de tu estudio... o puedes googlear "papel polar"  y ver que pasa. De nuevo la gente de Google salva el día y pone a tu disposición 339.000 entradas relacionadas con el papel polar. De todas éstas me quedé con la primera de la lista (ver enlace al final de esta entrada), que me permite imprimir, no sólo mi propio papel polar, sino otros 8 tipos de papel para graficar, de los cuales, debo confesarlo, sólo conocía 4. La interfaz de entrada te permite escoger entre 8 tipos de papel a imprimir:

1. Papel en escala de coordenadas Cartesianas 
2. Papel de Ingeniería (Que a mi se me da muy parecido al papel milimetrado vulgar común y corriente)
3. Papel Polar
4. Papel en escala Isométrica
5. Papel en escala logarítmica
6. Papel en escala hexagonal
7. Papel de gráfica de probabilidades
8. Carta de Smith

También puedes seleccionar entre pulgadas y milímetros como unidades de medida para las escalas, el tamaño del papel (Carta o A4), y otras propiedades características de cada tipo de papel.

He aquí el enlace a Print Free Graph Paper

A ver si alguien quiere comentar para que sirve cada uno de los tipos de papel disponibles en esta página o si conocen otro sitio similar a éste para imprimir papel para graficar. Toda colaboración es bienvenida.

Gráficas de funciones

¿Cansado de tabular a mano? ¿Cansado del papel milimetrado, el papel polar y las reglas plásticas? Bueno, no te canses mucho porque aún pasará mucho tiempo antes que se dejen de usar. Mientras tanto puedes ayudarte un poco con estas herramientas en linea para graficar funciones. No pretendo hacer un análisis de cual es mejor, así que las presento sin ningún orden en particular. 

Graficador 3D

Introduce una función como texto lineal y oprime el botón "GRAPH"

Graficador 2D

Puedes introducir hasta tres funciones y ver sus gráficas simultáneamente. Sólo introduce la ecuación en forma de texto lineal (ver el ejemplo que viene pre cargado en la página) y pulsa el botón "GRAHP"

FooPlot: Gráficas de funciones en 2D

Puedes ver las gráficas de hasta 5 funciones a la vez. Aumentar o reducir el área visible de la gráfica. Copiar y pegar la gráfica como imagen en una presentación o como código "embed" para tus páginas web.

Gráficas de funciones en 3D 

Otro graficador de funciones en 3D.  Introduce la parte explícita de la ecuación, configura la escala y los intervalos en los ejes cartesianos y pulsa en "Graph the Function!" para ver la gráfica de tu función. Si te ha fastidiado el no poder visualizar una superficie en 3D proveniente de una función de varias variables ¡ESTE ES UN BUEN MOMENTO PARA EMPEZAR!

Los tres sitios que he seleccionado, como casi cualquier otro generador de gráficas de funciones, de basan en la misma interfaz de entrada de datos. Una linea de texto donde introducir la ecuación en forma de texto lineal; así, por ejemplo, la ecuación de una parábola básica se escribiría: y=x^2, donde el usuario sólo escribe la parte de la ecuación correspondiente a la(s) variable(s) independientes, es decir, sólo se introduce la parte explícita de la función (x^2). Los demás parámetros necesarios son los intervalos a graficar en los ejes x e y, así como la escala de cada eje. Generalmente ya vienen predeterminados, pero se pueden ajustar para destacar mejor la gráfica en estudio. En resumen, se trata de tres muy buenas herramientas para graficar funciones con un aporte adicional como es el poder ver como afecta cambiar los valores de las constantes en la forma de la gráfica en tiempo real. Esto resulta particularmente útil a la hora de diseñar evaluaciones. Ya, basta de cháchara y ¡¡A GRAFICAR!!

Museo de Matemáticas

Museo Interactivo de Matemáticas

Échenle un ojo  a este nuevo y curioso museo, ubicado en Manhattan,  que promete reunir gente y esfuerzos para la divulgación y una mejor comprensión de las Mates y sus aplicaciones. Una de las mayores trabas que se presentan en un curso de Mates es demostrar sus aplicaciones y sus variantes. Este museo hace hace de la interactividad su herramienta principal en la demostración de teoremas para llegar a personas de todas las edades y sin necesidad de conocimientos previos o profundos de matemáticas. Me recuerda un poco al Museo de los Niños, en Caracas, dedicado a lo mismo pero orientado a todas las ciencias en general. También hacían un muy buen uso de la interactividad. 

Más información sobre este museo en su página oficial http://momath.org/

Respuestas insólitas 2:

Primer semestre de ingeniería. Primera clase de Matemática I: Siempre comienzo repasando algunos puntos básicos. La manipulación de expresiones algebraicas constituye uno de los mayores obstáculos que se encuentran los estudiantes en su primer contacto con el cálculo Superior.

Comienzo con una inocente pregunta: 

- ¿Qué resulta de sumar 1 + 2 + 3 + 4? - La respuesta y las miradas de "¿Qué le pasa a este tipo? ¿Es que nos cree retrasados o qué?" no tardan en aparecer

- ¡10! - Responden con tono cansino y puedo ver expresiones de suficiencia y de "me la estoy comiendo" por todas partes. Continúo con las preguntas inocentes.

-¿Qué resulta de sumar 2X + 3X + 5X? - Esta vez asoma algún rictus de sorpresa y duda, pero la respuesta correcta llega entre murmullos y expresiones de "¡Ah! Ya lo sabía".

- ¡10X! - Responden algunos mientras los demás guardan un silencio prudencial sin abandonar su expresión de suficiencia. Continúo mi ronda de preguntas escribiendo en la pizarra acrílica.

-¿Qué resulta de sumar...?

 

– Responden, casi a coro y comienza a renacer mi esperanza en el género estudiantil y acaricio la suave sensación de un semestre de buenos resultados. 

Suelto entonces la pregunta definitiva, la que me sacará de todas las dudas. La que me demostrará si esa sensación ilusoria será o no realidad

- ¿Qué resulta de sumar... ?

 ¡Caos total! Surgen varias respuestas a la vez; discusiones sobre quien tiene la razón. Escribo todas las respuestas que me dan el la pizarra:

– dicen algunos

– alcanzo a escuchar de otros

En concreto: Ninguna respuesta correcta. Todavía trato de comprender el intrincado proceso mental que les impulsa a manipular de esa manera los exponentes y a dar esa respuesta insólita. Más aún, todavía me cuesta hacerles comprender que esa última suma es imposible, que no se puede realizar y que se debe dejar hasta allí, que no hay nada más que hacer. Como dije en mi post anterior, lo que hace tan complicado sacarlos de este error, es que ESTÁN CONVENCIDOS QUE ÉSA ES LA RESPUESTA CORRECTA. Cada quien, a su manera de ver las cosas, piensa que está en lo correcto y mientras más convencidos están, más difícil es sacarlos de su error.

Respuestas insólitas 1:

Siempre había querido  hacer una recopilación de las respuestás más insólitamente incorrectas con las que me he encontrado en los exámenes  de mates que he aplicado a lo largo de mi experienca docente, así como otras que he encontrado en algunos sitios de internet. La idea no es tomarlo en broma o ridiculizar a quienes he tenido la oportunidad de tener como alumnos, más bien es resaltar el extraño factor común que todas estas respuestas fueron escritas con el pleno convencimiento de su veracidad, es decir, quienes las escribieron estaban seguros de estar en lo correcto, con la consecuente dificultad para sacarlos de su error.

Voy a comenzar este especial con un video que muestra de una manera sumamente divertida el hecho de cómo una persona puede aferrarse a una respuesta errónea aún cuando la respuesta correcta sea evidente a nuestros ojos.

Crédito para la gente del blog No Sólo Mates (de cuya existencia apenas me entero, pero recomiendo ampliamente) en la traducción del video.

Lo más cercano al concepto de inmortalidad:

"El recuerdo de Arquímedes persistirá cuando Esquilo esté ya olvidado, porque las lenguas mueren y los conceptos matemáticos no. Inmortalidad es tal vez un término estúpido, pero quizá un matemático posea las mayores probabilidades de alcanzarla, sea cual sea su significado."

G. H. Hardy

Godfrey Harold Hardy (1877 - 1947) fue un matemático británico, mentor del matemático hindú Ramanujan (otra historia interesante sobre matemáticos brillantes de origen humilde). 

Para quienes se pregunten: ¿Qué demonios importa una triste demostración que sólo unos cuantos frikis entenderán (o simularán entender)? ¿cuál es la motivación? Bien lo dice Hardy en su cita: para, de alguna manera, alcanzar la inmortalidad. El legado de todo aquél que ha logrado escribir su nombre junto a una demostración matemática universal e irrefutable persiste aún entre nosotros y persistirá hasta el final de los tiempos.

Lo que estoy leyendo

     Por ahora en formato digital (hasta que por fin encuentre un impreso decente) Este libro trata de un problema que escribió el genial matemático Pierre de Fermat, un jurista de profesión, matemático autodidacta y aficionado a los acertijos numéricos. Dedicaba gran parte de su tiempo libre a la demostración de cuestiones matemáticas que luego compartía con otros grandes matemáticos de su tiempo con la condición que no se le mencionase. No llevaba apuntes formales, sólo escribía en el margen de un ejemplar la de "ARITHMETICA" de Diophanto (protagonista de nuestro post anterior). La trama se centra entonces en la demostración de la ecuación que aparece en la portada del libro (x^n + y^n = z^n). Fermat afirmaba que esta ecuación sólo tenía solución entera para n=1 y n=2, pero no tenía soluciónes enteras  para n>2 (siendo n un entero positivo). En relación a esto escribió en el margen de su Arithmetica: "He encontrado una demostración maravillosa para esta ecuación, pero el margen de este libro es demasiado estrecho para escribirla en él". El punto es que la tal demostración nunca apareció y ha sido uno de los problemas que mas quebraderos de cabeza ha traido a los más famosos matemáticos de la historia. El libro de Singh narra, entre otras interesantes anécdotas y cuestiones matemáticas, la historia de los intentos por demostrar esta ecuación a lo largo del tiempo, hasta nuestro siglo 21, cuando por fin un matemático (Andrew Wiles) da con la solución por medio de las más avanzadas teorías y herramientas matemáticas con las que Fermat jamás habría soñado siquiera con su existencia. Todavía en proceso de lectura, cuando lo termine dejaré mis comentarios al respecto.
       Si el tema les ha parecido interesante, o al menos medianamente atractivo como para hacer un click más, pueden encontrar un video documental de lo más entretenido en este enlace. El episodio 4 de la serie "Universo Matemático" se refiere por completo a Fermat.

El problema de Diofanto

Diofanto fue un matemático griego que vivió entre el 200 y el 290 dC.  Se le conoce como el padre del Álgebra por su obra "Aritmética", en la cual se resuelve una serie de problemas utilizando herramientas de álgebra básica, como ecuaciones de primer y segundo grado (algo así como física cuántica para aquella época). En realidad él no tenía ningún problema (que sepamos), es sólo que sobre su tumba, a manera de epitafio uno de sus alumnos escribió el siguiente problema:

"Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad."

 Ahora ¿A quién le importa saber cuántos años vivió Diofanto? ¿Qué edad tenía cuando se casó? ¿a qué edad tuvo su hijo? Particularmente me interesa el método de solución utilizado en este problema; algo tan trivial como una simple ecuación de primer grado, pero que tantos dolores de cabeza nos causan todavía.

Luego que hayas (al menos) intentado esbozar una solución a este curioso problema, puedes ver su solución pulsando AQUÍ

El cuadro que desaparece

Pueden haber visto en Youtube(R) varios videos de figuras geométricas cuadriculadas que, ordenadas de una manera representan una figura completa y luego, al reordenarlas de otra forma, desaparece un cuadro, o aparece uno de más ¿Lo han visto? ¿No? Pues no se pierden de nada, se trata simplemente de meras ilusiones geométricas, muy sutiles que, si se toman el trabajo de construir las figuras en papel y reconstruir el hecho, podrán detectar la ilusión más o menos rápidamente.

Lo que les quiero mostrar es la manera "analítica" de demostrar el "fake" geométrico, sin necesidad de recortar cartulinas o papel.

A continuación les muestro uno de los problemas del que les hablo:

Se tiene un triálgulo contruido con varias figuras de la siguiente manera:

El triángulo superior muestra la figura original, mientras que el inferior muestra la figura luego de reordenar las piezas A, B, C y D de la manera que se indica.

Aparentemente se obtiene el mismo triángulo rectángulo de 5 x 13, sin embargo, en el triángulo inferior aparece un cuadro en blanco(?)

¿A dónde se ha ido ese cuadro? ¡Tiene que estar en algín lado! ¡No puede desaparecer así no más!

Si se fijan bien, en el triángulo inferior, justo en el punto donde se unen los vértices de los triángulos B y A, se observa una muy disimulada "joroba" en la hipotnusa del supuesto triángulo rectángulo. Efectivamente, el área correspondiente al cuadrado en blanco debe estar en otra parte de la figura, pero vamos a demostrarlo de una matera más analítica que visual.

Solución: 

Esta ilusión parte del supuesto que ambos triángulos son semejantes, hecho qe fácilmente podemos demostrar que es falso. Si ambos triángulos son semejantes, los triángulos A y B deben generar el mismo ángulo en sus vértices comunes. Tomemos por ejemplo el ángulo entre la hipotenusa de A y su base (cateto horizontal); este ángulo, debe ser igual al formado por la hipotenusa del triángulo B y su base (cateto horizontal). La tangente de estos ángulos, si son iguales, debe ser la misma.

Veamos el triángulo A:

Se tiene un triángulo de 2 cuadros de altura por 5 cuadros de base. La tangente del ángulo formado por la hipotenusa y la base es: Tg x = 2/5 = 0,40

Ahora el triángulo B:

Se tiene un triángulo de 3 cuadros de altura por 8 de base. La tangente del ángulo formado por la hipotenusa y la base es: Tg x = 3/8 = 0,375

Fíjense que es una diferencia numérica muy pequeña, apenas se puede observar a simple vista; sólo reordenando las figuras que conforman el triángulo se puede tener una idea tangible, cuantificable y muy visible de la diferencia existente (al aparecer el cuadro en blanco)

¿Pero, dónde está el cuadro faltante?

Si,ya sé, mucho bla, bla y todavía no se sabe a dónde se fué el bendito cuadro. Bueno, tal vez en esta ampliación del triángulo inferior (¿recuerdan que les dije que hay una muy sutil y disimulada "joroba" justo donde se juntan los vértices de los triángulos A y B?) se puede apreciar mejor. He trazado una linea recta desde el vértice superior del triángulo hasta el vértice inferior en la base del mismo. y lo que obtuve fue lo siguiente:

La linea azul (un pelo más claro) es la linea de vértice a vértice. Fíjense que hay una pequeña area que se extiende entre esta línea recta que he trazado y la "hipotenusa" de los triángulos. Bueno, toda el área del cuadro marcado con (?) se ha trasladado a esta franja que se extiende a lo largo de tooooooda la supuesta hipotenusa del triángulo inferior. ¡Si!, allí está su cuadro.

Si les han quedado ganas, ahora hagan lo mismo con el triángulo superior, tracen una linea recta, de vértice a vértice, a ver que sucede en ese caso donde "no falta ningún cuadro", ¡se sorprenderán!

Una derivada curiosa

Alguna vez, alguien me pidió ayuda con la derivada de una función (según su gráfica y características se trata de una función) un tanto peculiar; aquí se las presento

Pueden ver el desarrollo de la primera derivada de esta función haciendo click AQUÍ

Dando el primer paso

Como el primer paso de mis caminatas por la tarde (que jamás he empezado), Ese primer paso que deseamos dar pero que postergamos hasta lo indecible, así comienzo este Blog. Hace ya mucho tiempo que deseaba hacer esto. Se trata de una especie de sitio virtual para ayudar, dentro de mi humilde capacidad de discernimiento y un tanto minúsculo por encima del promedio de mis habilidades en matemáticas, a quienes por una u otra razón no logran encontrarle la vuelta a esta ciencia madre de todas las ciencias (esto suena bonito y todo)

Como sea, esta es una ventana que ofrezco a un nutrido grupo de gente necesitada de una mano amiga que de vez en cuando le suministre algo de luz en los cada vez más obscuros senderos de las matemáticas universitarias. En mi sitio de trabajo convivo con una cantidad nada despreciable de personas que, deseosa de superarse y alcanzar la meta de un título universitario, comienzan o reanudan sus estudios y se encuentran con el escollo multiforme, impresionante e intimidante de los números (y algunos profesores más propensos a acabar con el escaso interés de sus alumnos que a incentivar sus mentes)

Y es que muchas veces la mayoría de las fallas en las mates universitarias se deben a la escasa o deficiente formación previa de los estudiantes. He visto como en los cursos de secundaria se ha menoscabado la dedicación y la motivación de los muchachos hacia las asignaturas relacionadas con los números y el razonamiento.

Pues bien: Para todos aquellos que han pasado penurias (y entre los cuales me incluyo) con las mates, que tienen mucho tiempo sin estudiar y les cuesta acoplarse al ritmo de la clase, o simplemente para todos aquellos que se quedaron con la pregunta en la garganta y la persistente duda (por pena, vergüenza o porque pensó "en la casa lo repaso bien y le agarro la vuelta") , a todos ellos dedico este sitio. Monten su pregunta, por insólita, difícil o ridícula que les parezca. Yo trataré de responderlas de la manera más didáctica y práctica posible.

¿Qué me quedará de todo esto? Bueno,nada es gratuito en esta vida, si no pregunten al que cuida los carros. Por ahora sólo cuento con la retribución del ejercicio que supondrá responder a sus preguntas. Mis respuestas serán todo lo confiables que la experiencia de 12 años impartiendo asignaturas relacionadas con el cálculo superior y la colaboración de un nutrido grupo de docentes especialistas en la materia puedan brindar.

El primer paso ya está dado... ahora les toca a uds.