Pueden haber visto en Youtube(R) varios videos de figuras geométricas cuadriculadas que, ordenadas de una manera representan una figura completa y luego, al reordenarlas de otra forma, desaparece un cuadro, o aparece uno de más ¿Lo han visto? ¿No? Pues no se pierden de nada, se trata simplemente de meras ilusiones geométricas, muy sutiles que, si se toman el trabajo de construir las figuras en papel y reconstruir el hecho, podrán detectar la ilusión más o menos rápidamente.
Lo que les quiero mostrar es la manera "analítica" de demostrar el "fake" geométrico, sin necesidad de recortar cartulinas o papel.
A continuación les muestro uno de los problemas del que les hablo:
Se tiene un triálgulo contruido con varias figuras de la siguiente manera:
El triángulo superior muestra la figura original, mientras que el inferior muestra la figura luego de reordenar las piezas A, B, C y D de la manera que se indica.
Aparentemente se obtiene el mismo triángulo rectángulo de 5 x 13, sin embargo, en el triángulo inferior aparece un cuadro en blanco(?)
¿A dónde se ha ido ese cuadro? ¡Tiene que estar en algín lado! ¡No puede desaparecer así no más!
Si se fijan bien, en el triángulo inferior, justo en el punto donde se unen los vértices de los triángulos B y A, se observa una muy disimulada "joroba" en la hipotnusa del supuesto triángulo rectángulo. Efectivamente, el área correspondiente al cuadrado en blanco debe estar en otra parte de la figura, pero vamos a demostrarlo de una matera más analítica que visual.
Solución:
Esta ilusión parte del supuesto que ambos triángulos son semejantes, hecho qe fácilmente podemos demostrar que es falso. Si ambos triángulos son semejantes, los triángulos A y B deben generar el mismo ángulo en sus vértices comunes. Tomemos por ejemplo el ángulo entre la hipotenusa de A y su base (cateto horizontal); este ángulo, debe ser igual al formado por la hipotenusa del triángulo B y su base (cateto horizontal). La tangente de estos ángulos, si son iguales, debe ser la misma.
Veamos el triángulo A:
Se tiene un triángulo de 2 cuadros de altura por 5 cuadros de base. La tangente del ángulo formado por la hipotenusa y la base es: Tg x = 2/5 = 0,40
Ahora el triángulo B:
Se tiene un triángulo de 3 cuadros de altura por 8 de base. La tangente del ángulo formado por la hipotenusa y la base es: Tg x = 3/8 = 0,375
Fíjense que es una diferencia numérica muy pequeña, apenas se puede observar a simple vista; sólo reordenando las figuras que conforman el triángulo se puede tener una idea tangible, cuantificable y muy visible de la diferencia existente (al aparecer el cuadro en blanco)
¿Pero, dónde está el cuadro faltante?
Si,ya sé, mucho bla, bla y todavía no se sabe a dónde se fué el bendito cuadro. Bueno, tal vez en esta ampliación del triángulo inferior (¿recuerdan que les dije que hay una muy sutil y disimulada "joroba" justo donde se juntan los vértices de los triángulos A y B?) se puede apreciar mejor. He trazado una linea recta desde el vértice superior del triángulo hasta el vértice inferior en la base del mismo. y lo que obtuve fue lo siguiente:
La linea azul (un pelo más claro) es la linea de vértice a vértice. Fíjense que hay una pequeña area que se extiende entre esta línea recta que he trazado y la "hipotenusa" de los triángulos. Bueno, toda el área del cuadro marcado con (?) se ha trasladado a esta franja que se extiende a lo largo de tooooooda la supuesta hipotenusa del triángulo inferior. ¡Si!, allí está su cuadro.
Si les han quedado ganas, ahora hagan lo mismo con el triángulo superior, tracen una linea recta, de vértice a vértice, a ver que sucede en ese caso donde "no falta ningún cuadro", ¡se sorprenderán!
